Synthese numération

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SYNTHÈSE NUMERATION + quelque éléments généraux sur la maternelle
Petits rappels théoriques …


LES BASES
Ecrire en BASE 10, c’est « faire apparaître des paquets de 10 » et indiquer ensuite, par la position des chiffres dans l’écriture des
nombres le nombre d’unités isolées, le nombre de paquets de 10 unités (les dizaines), le nombre de paquets de 100 unités (les
centaines) etc …
EX : 31 526
3 paquets de 10000 ; 1 paquet de 1000 ; 5 paquets de 100 ; 2 paquets de 10 ; 6 unités isolées
3 x 1000 + 1 x 1000 + 5 x 100 + 2 x 10 + 6
3 x 104 + 1 x 103 + 5 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100
… donc … Ecrire en BASE 7, c’est « faire apparaître des paquets de 7 » et indiquer ensuite, par la position des chiffres dans
l’écriture des nombres le nombre d’unités isolées, le nombre de paquets de 7 unités (les “septaines“), le nombre de paquets de 49
unités ( 72aines), puis de 343 (73aines ) etc …
EX : 526 en base 7
526 = (73 x 1 ) + ( 72 x 3) + (71 x 5 ) + (70 x 2)
526 = (343 x 1 ) + ( 49 x 3) + (7 x 5 ) + 2 donc 526 en base 7 s’écrit 1352
Pour trouver l’écriture d’un nombre, donné en base 10 , dans une autre base, on réalise des
divisions euclidiennes successives de ce nombre par la base.
Par exemple : trouver l’écriture en base 5 de 426.
426 : 5 = 85, reste 1 (1 sera le chiffre des unités en base 5)
85 : 5 = 17, reste 0 (0 sera le chiffre des « cinquaines » en base 5)
17 : 5 = 3, reste 2 (2 sera le chiffre des « 52aines » en base 5)
et 3 sera le chiffre des « 53aines » en base 5. Le nombre 426 s’écrit 3201 en base 5.



Calculer avec des puissances

an x ap = a n+p (an)p = a nxp an x bn = (a x b)n
Identités remarquables
(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2
a2 - b2 = (a - b)(a + b)


Connaître les définitions … et ne pas confondre …

Les deux “aspects“ d’un nombre : cardinal (notion de quantité, collection d’objets) et ordinal (ordre dans la suite des entiers, suite)
… et les deux “fonctions“ d’un nombre : mémorisation des quantités et anticipation (prévoir ce que va devenir une quantité
transformée, sans réaliser la transformation.

Approche des quantités et des nombres en maternelle

L’enfant peut être confronté à des problèmes portant sur des quantités sans qu’il soit encore capable de les résoudre en utilisant des
dénombrements.
Procédures avant dénombrement :
- estimation perceptive et globale des quantités (plus, moins, pareil, beaucoup, pas beaucoup)
- perception instantanée de petites quantités (subitizing)
- comparaison de collections à des collections naturelles (doigts) ou repères
- correspondance terme à terme pour comparer deux collections (collections proches, déplaçables ou non …)
Dénombrement : mise en correspondance de mots avec des objets (comptage)
- comptage en utilisant la comptine parlée (dernier mot = mémoire de la quantité)
- comptage en utilisant une bande numérique (trace)
- autres procédures
recomptage : “J’en ai 3, je rajoute 21-2-3-4-5 “ surcomptage : “J’en ai 3, je rajoute 23-4-5 “

Importance du choix des variables didactiques ! ! ! (voir plus loin)

Pas de définition de la notion de nombre mais appropriation, sens par l’utilisation (pour comparer, pour communiquer).
Le domaine numérique peut s’étendre jusqu’à 20 ou 30
ATTENTION ! Apprendre la suite orale n’est pas apprendre à compter ! Compter, c’est mettre en relation des mots avec des
objets d’une collection et prendre conscience que le dernier mot prononcé indique la quantité. (Notion de “mot nombre“ =
utilisation de “mots“, sans réel lien entre eux pour désigner des quantités. Le sens viendra ensuite par des utilisations dans des
contextes variés jusqu’à leur “mise en liste“ (comptine)


A l’école élémentaire, au cycle 2 … Nombre inférieurs à 1000
- maîtrise de la comptine orale, utilisation du dénombrement, mise en relation des nombres « dits » avec leur écriture chiffrée
- comptage un à un puis construction progressive de l’algorithme de la numération orale
- groupements et échanges signification des chiffres en fonction de leur position
Les nombres servent à résoudre des problèmes ! Procédures pour résoudre ces problèmes :
- correspondance terme à terme - estimation approximative -reconnaissance immédiate (subtizing)
- dénombrement : utilisation d’une suite de mots (nombres) mis en correspondance avec chaque élément de la collection
comptage et surcomptage (pour des problèmes additifs) décomptage : comptage décroissant
- recours à des procédures de calcul automatisé (algorithmes de l’addition ou de la soustraction) ou réfléchi.
Les variables didactiques - les collections (éloignement ou proximité, taille)
- les éléments des collections (mobilité, disposition et taille)
- les nombres utilisés (petits, fréquentés dans la vie courante, grands)

ATTENTION : ne pas confondre APPRENTISSAGE DES NOMBRES et DESIGNATION DES NOMBRES
APPRENTISSAGE DES NOMBRES DESIGNATION DES NOMBRES
- utilisation de mots nombres
manipulation de nombres ou activités de dénombrement
- cycles 1 et 2
- travail sur la suite orale et écrite
+ en situation de résolution de problèmes (comparaison,
communication)
- analyser une écriture chiffrée en référence aux notions de
groupement et d’échanges
- ensemble de l’école élémentaire
- travail sur la suite orale et écrite
+ donner du sens aux écritures chiffrées en utilisant les
informations contenues dans cette écriture (acheter 28 goûters
vendus à l’unité ou par paquets de 10)



Mathématiques à la maternelle
Dépasser la perception spontanée pour « anticiper » sur le résultat de sa prochaine action = travail conceptuel
Programme : activités graphiques (reconnaissance de formes, repérage dans l’espace, codage/décodage ..) , de classification (grouper
% à une ppté commune, de sériation (ranger % à un critère), de dénombrement, de mesurages et de reconnaissances de formes.
Compétences attendues en fin de cycle deux grands domaines : Approche du nombre et Repérage spatio-temporel

Approche du nombre Repérage spatio-temporel
Mettre en oeuvre une procédure (numérique ou non) pour :
- réaliser une collection équivalente à une autre
- comparer et partager des collections
- réaliser une distribution
- résoudre des pb liés à des augmentations ou des diminutions

Pas de compétence attendue au niveau du calcul
- reconnaître, différencier et classer des formes
- se situer et se repérer dans l’espace
- coder et décoder un déplacement
- situer, repérer et déplacer des objets par rapport à soi

merci beaucoup

Merci pour tous ces cours !

Merci

Encore merci !!